概念

格与布尔代数

格是「任意两元素都有交与并」的偏序集，分配格与布尔代数刻画集合运算的逻辑结构，布尔函数是数字电路的数学模型。

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格与布尔代数抽象代数

01定义

格是「任意两元素都有交（下确界）与并（上确界）」的偏序集。分配格加上补运算成为布尔代数——集合运算与命题逻辑的公共代数结构；布尔函数是数字电路的数学模型。

布尔代数的钻石哈斯图：a 与 b 互补（交为 0、并为 1）

子群格、理想格、划分格——许多代数结构的子结构按包含关系自然成格；模格、分配格是两条重要的附加性质。

有补分配格即布尔代数：德摩根律 $\overline{a\vee b}=\bar a\wedge\bar b$ 成立；二值集合 $\{0,1\}$ 上的布尔函数全体构成自由布尔代数。

命题的「且/或/非」就是 $\wedge/\vee/\neg$ ；斯通表示定理把抽象布尔代数实现为某集合的代数——逻辑被彻底代数化。

\overline{a\vee b}=\bar a\wedge\bar b\quad(\text{德摩根})

a\wedge(b\vee c)=(a\wedge b)\vee(a\wedge c)\quad(\text{分配律})

布尔 1847 年《思维法则的研究》把逻辑代数化；德摩根、皮尔士完善格结构；戴金 1897 年研究「模格」；伯克霍夫 1930 年代创立格论作为独立学科。

数字电路的逻辑化简（卡诺图）、数据库查询的格结构、形式概念分析、程序静态分析（抽象解释的完备格）都建立在格与布尔代数之上。

幂集格 P({a,b,c})：交与并Hasse 图：上移 = 加元素；∧=交（下确界）、∨=并（上确界）

子集 A（位掩码）5子集 B（位掩码）3