微分几何
用微积分研究光滑形状：曲线与曲面的局部不变量（曲率、挠率）刻画弯曲程度，黎曼几何把度量张量推广到任意维弯曲空间，为广义相对论提供语言。
4 个分节9 个概念
§ 01
曲线论
一维光滑曲线：弧长参数化后，曲率与挠率完全刻画曲线的形状（曲线基本定理）。
§ 02
曲面论
二维光滑曲面：第一、第二基本形式分别编码长度与弯曲信息，高斯曲率是曲面最核心的不变量。
§ 03
黎曼几何
带度量的弯曲空间：黎曼度量把「距离」定义为内积场，测地线是弯曲空间中的「直线」，曲率张量描述空间的弯曲。
§ 04
流形与张量
高维光滑空间的一般理论：流形是局部像欧氏空间的光滑空间，微分形式与外微分把积分统一为斯托克斯定理。