分析
Analysis研究极限、连续、变化与无穷过程。从数学分析严格化微积分，到实分析与复分析发展出测度与全纯函数的深水区，再到微分方程刻画演化规律、泛函分析与变分法处理无穷维问题，分析是数学与物理世界的定量语言。
主题目录
数学分析
微积分与级数的严格理论：以 ε-δ 语言奠定极限基础，系统发展微分、积分与级数理论，是大学数学的第一个严格化阶段。
实分析
测度与积分的现代理论：勒贝格测度推广长度到更多集合，勒贝格积分克服黎曼积分的局限（收敛定理），傅里叶分析研究函数的频率分解，是概率论与泛函分析的基石。
复分析
复变函数的解析理论：全纯函数拥有惊人的刚性（局部决定整体），围道积分与留数定理让许多实积分轻松可算，共形映射保角，是数学中最优美的理论之一。
常微分方程
一元函数变化规律的方程：存在唯一性定理保证解的基本理论，线性系统可显式求解，定性理论与动力系统不求解也能刻画解的长期行为。
偏微分方程
多元函数变化规律的方程：波动、热、拉普拉斯三大方程是线性 PDE 的经典样板，分类理论（椭圆/抛物/双曲）决定定性行为，Sobolev 空间与弱解是现代理论的语言。
泛函分析
无穷维空间上的分析：巴拿赫与希尔伯特空间推广有限维线性代数，算子理论（谱理论）是量子力学与 PDE 的语言，分布理论让「广义函数」合法化。
变分法
泛函极值与最优控制：求「函数的函数」（泛函）的极值，欧拉-拉格朗日方程是必要条件，直接方法用紧性论证存在性，最优控制把优化推广到含控制变量的系统。
杰出数学家
对「分析」作出开创性贡献的数学大师，其思想至今影响深远。
奥古斯丁-路易·柯西
男1789–1857 · 享年 67 岁
国籍：法国
分析严格化的先行者：为极限、连续、导数给出精确定义，建立柯西序列与收敛理论，开创分析的严谨传统。
卡尔·魏尔斯特拉斯
男1815–1897 · 享年 81 岁
国籍：德国
严格分析的代表：以 ε-δ 语言彻底夯实极限理论，构造出处处连续无处可导的函数，终结了直觉论证时代。
亨利·勒贝格
男1875–1941 · 享年 66 岁
国籍：法国
现代积分理论创立者：勒贝格测度与勒贝格积分克服黎曼积分局限，收敛定理使积分与极限可交换，奠定实分析基础。
约瑟夫·傅里叶
男1768–1830 · 享年 62 岁
国籍：法国
傅里叶分析的创立者：提出任意函数可展开为三角级数，其方法成为分析、信号处理与偏微分方程的通用工具。
艾萨克·牛顿
男1643–1727 · 享年 84 岁
国籍：英国
微积分的共同创立者：与莱布尼茨独立发展流数术，提出万有引力定律，让数学成为描述自然的最强语言。
推荐图书
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数学分析原理
被誉为「小卢丁」的分析学经典：以极限与连续性为起点严格构建微分、积分与级数理论，语言极简而逻辑严密，是分析训练的标杆。
实分析与复分析
「大卢丁」：以测度论与全纯函数为核心，把实分析与复分析统一于现代分析框架，是通向研究生阶段分析的必读之作。
复分析
以几何观点著称的复分析经典：从解析函数、围道积分到黎曼映射定理，讲解透彻，是复变函数论的权威教材。
偏微分方程
现代 PDE 理论的标准教材：从四大经典方程到 Sobolev 空间、弱解与半群方法，是系统进入偏微分方程研究的入口。