飞毛腿阿喀琉斯让乌龟先跑一步，每次他追到乌龟原先的位置，乌龟又前进了一点——看起来他永远追不上。破解：无穷级数 $1+\frac12+\frac14+\cdots=2$ 收敛，时间可以被无限细分，但总和有限。

拥有无穷多房间的旅馆已经满员，却仍能住进新客人——让每位客人挪到下一间即可；甚至还能同时容纳无穷多位新客人。结论：无穷集合可以与自己的真子集等势，这是「无穷」反直觉的本性。

村里理发师只给「不给自己刮脸的人」刮脸。他该给自己刮吗？——这正是罗素悖论的通俗版：集合 $R=\{x\mid x\notin x\}$ 是否属于自身？它动摇了朴素集合论，催生了 ZFC 公理体系。

「这句话是假的。」若它为真，则它为假；若它为假，则它为真。塔斯基给出解法：用「对象语言/元语言」分层，一个语言系统不能断定自身的真伪——哥德尔不完备定理与这个古老悖论一脉相承。

「用少于二十个汉字无法定义的最小正整数」——这句话本身不到二十个字，却定义了这个数。它揭示「可定义」并非一个精确概念，逼出了「可定义性」的形式化研究。

七座桥连通四块陆地，能否一次走遍每座桥且不重复？欧拉 1736 年证明不可能：四个顶点度数全为奇。图论由此诞生——一道散步题，催生了一门数学分支。

三扇门后有一辆汽车两只羊。你选了 1 号门，主持人打开 3 号门露出一只羊，问是否改选 2 号门。换吗？——必须换：不换胜率 $\frac13$，换则 $\frac23$。此题曾让成千上万人（包括数学家）争论不休。

23 人中至少两人生日相同的概率超过 50%：$1-\frac{365\times364\times\cdots\times343}{365^{23}}\approx0.507$。反直觉的根源：我们错误地比较「与特定日期相同」，而实际是「任意两人相同」。

64 片金盘按规则移至另一柱，最少需 $2^{64}-1$ 步；即使每秒一步也要约 5849 亿年，远超宇宙年龄。梵天传说因此成为递归思想与指数增长最生动的隐喻。

41 人围成一圈，每数到第三人就处决，求幸存位置。约瑟夫斯算准了第 16 位而幸存。一般通解：$2(n-2^{\lfloor\log_2 n\rfloor})+1$——用二进制表示 n，把首位挪到末尾即可。

三人住店付 30 元，老板退 5 元，服务生私吞 2 元退 3 元：每人实付 9 元共 27 元，加私吞的 2 元是 29 元，还有 1 元去哪了？——诡辩在于 27 = 25（房费）+ 2（私吞），再「+2」是同向重复相加。

8×8 棋盘去掉一对对角格，还能用 31 张 1×2 多米诺铺满吗？不能：去掉的是同色格，而每张多米诺必须覆盖一黑一白。染色法是组合数学最漂亮的武器之一。

两名囚徒分开审讯：都沉默各判 1 年，都坦白各判 3 年，一人坦白则坦白者获释、沉默者判 5 年。理性均衡是双双坦白（共 6 年），却劣于合作的沉默（共 2 年）——纳什均衡与帕累托最优冲突的经典。

三堆火柴轮流取子，取走最后一枚者胜。必胜策略：每步使各堆数量的二进制异或和为 0。这道流传千年的游戏，是组合博弈论（斯普拉格-格伦迪定理）的起点。

在交通网络中新建一条道路，反而让所有人的通行时间变长——纳什均衡不等于社会最优。真实案例：1990 年纽约 42 街封路后交通反而改善，首尔清溪川高架拆除后亦然。

两车对撞，先转向者丢面子但存活；都不转向则车毁人亡。混合策略均衡的存在使「理性」在此没有确定答案。库布里克《奇爱博士》与冷战核威慑的灵感来源之一。