凡能「快速验证」解的问题（NP），是否都能「快速求解」（P）？若 $P=NP$，现代密码学将一夜崩塌；若 $P\ne NP$，许多优化问题注定无法高效求解。1971 年库克与莱文独立奠基，至今悬而未决。

1950 年霍奇提出：紧复代数簇上某些有理上同调类是否总能由代数子簇表示？它位于代数几何、复分析与拓扑的交汇点，被视作代数几何最深远的猜想之一。

庞加莱 1904 年猜想：任一单连通的闭三维流形必同胚于三维球面 $S^3$。佩雷尔曼 2002—2003 年用里奇流给出证明，2006 年获确认，2010 年获颁千禧奖——他拒绝领奖，从此淡出数学界。

1859 年黎曼提出：黎曼 $\zeta$ 函数的全部非平凡零点都位于临界线 $\Re(s)=\frac12$ 上。它与素数分布密切相关，是当代数学最著名的未解难题。

量子场论中的杨-米尔斯理论在四维时空中能否被严格量子化？其最轻粒子质量是否严格为正（质量间隙）？这是数学与物理最深层的交界问题之一。

描述流体运动的三维纳维-斯托克斯方程，其光滑解是否存在且唯一？这一问题关系到湍流的理解，已困扰数学界一个多世纪。

贝赫与斯维讷通-戴尔猜想：椭圆曲线 $E$ 的有理点群的秩等于其 $L$ 函数 $L(E,s)$ 在 $s=1$ 处零点的阶。它把数论与分析深刻联系起来。

康托猜想：实数集的基数与自然数集的基数之间不存在中间基数。哥德尔 1940 年证明它与 ZFC 公理体系相容，科恩 1963 年用力迫法证明它独立于 ZFC——结论是「无法判定」。

能否用有限方法证明算术公理系统自身的相容性？哥德尔 1931 年第二不完备定理给出否定回答：任何包含算术的一致系统无法在自身内部证明自己的相容性。

两个等底等高的四面体是否必能割补相等？希尔伯特的学生德恩同年（1900 年）即给出反例：德恩不变量不同则不可拼补。这是 23 个问题中第一个被解决的。

$a$ 为代数数且 $a\ne0,1$，$b$ 为代数无理数时，$a^b$ 是否必为超越数？盖尔范德与施奈德 1934 年各自独立证明——例如 $2^{\sqrt2}$ 必为超越数。

涵盖黎曼猜想与哥德巴赫猜想。素数定理 1896 年已被证明，但黎曼猜想与哥德巴赫猜想至今仍是数论的核心悬案。

是否存在算法判定任一整系数多项式方程有无整数解？马季亚谢维奇 1970 年在戴维斯、普特南、罗宾逊工作的基础上给出否定回答——不存在通用算法。

把有理数域的类域论（克罗内克「青春之梦」）推广到一般数域。阿贝尔扩张情形已大体解决（谷山-志村猜想等），非阿贝尔情形仍是核心难题。

平面多项式向量场极限环的个数是否有限？二次系统的部分情形已解决，一般情形仍未攻克。

全空间由全等多面体无隙装填有多少种方式？比伯巴赫 1911 年证明空间群有限（共 230 种）；衍生出的开普勒猜想由海尔斯 1998 年给出计算机辅助证明。

正则变分问题的解是否必为解析函数？希尔伯特本人 1904 年即给出证明，后经纳什等人推广到更广情形。

给定奇点类型与单值群，是否总存在相应的线性微分方程？经典情形由普莱梅伊等解决；1989 年博利布鲁赫发现一般形式不成立，修正后的版本仍待完全回答。

希尔伯特呼吁进一步发展变分法。作为纲领性问题，它与数值分析、最优控制等方向交融，至今仍是活跃领域——没有一个明确的「解决」时刻。

1742 年哥德巴赫在致欧拉的信中提出：每个不小于 4 的偶数都是两个素数之和。陈景润 1966 年证明「1+2」：大偶数可表为一个素数与至多两个素数乘积之和，此后半个多世纪无人再进一步。

是否存在无穷多对相差 2 的素数，如 $(3,5)$、$(11,13)$？张益唐 2013 年证明存在无穷多对素数差小于 7000 万，陶哲轩发起的 Polymath 项目 2014 年把界推进到 246。

1637 年费马在《算术》页边写道：$x^n+y^n=z^n$ 在 $n\ge3$ 时无正整数解，「我已发现一个绝妙的证明，可惜页边太窄写不下」。怀尔斯 1994 年借助谷山-志村猜想给出证明，终结 358 年的悬案。

任何地图只用四种颜色即可着色，使相邻区域颜色不同。1852 年提出，1976 年阿佩尔与哈肯用计算机穷举 1936 种可约构型完成证明——第一个必须依赖计算机的数学证明。

任取正整数 $n$：偶数则除以 2，奇数则变为 $3n+1$。猜想：过程终将落入 $1\to4\to2\to1$ 的循环。已验证到约 $2^{68}$ 均成立，但至今无人证明。

1985 年奥斯特莱与马瑟提出：对互素正整数 $a+b=c$，$c$ 通常不会比 $a$、$b$ 的素因子乘积大太多。望月新一 2012 年提交证明，2020 年发表于其主编的期刊，但数学界普遍尚未接受。