偏微分方程
多元函数变化规律的方程：波动、热、拉普拉斯三大方程是线性 PDE 的经典样板，分类理论（椭圆/抛物/双曲）决定定性行为，Sobolev 空间与弱解是现代理论的语言。
4 个分节9 个概念
§ 01
经典方程
最重要的线性 PDE：波动方程描述波的传播，热方程描述扩散，拉普拉斯方程描述稳态，各有鲜明的性质。
§ 02
方程分类
二阶线性 PDE 的类别：椭圆、抛物、双曲三类方程的定性行为截然不同，特征理论解释差异的来源。
§ 03
边值问题
解的存在性与正则性：Sobolev 空间引入弱导数，弱解把解的定义放宽，Lax-Milgram 与 Schauder 估计保证解的质量。
§ 04
应用
自然科学与工程：PDE 是物理规律的基本语言，流体与量子力学是两大经典应用。