概念

流体力学

欧拉方程（无粘）与 Navier-Stokes 方程（有粘）描述流体运动，N-S 方程解的存在光滑性是千禧年难题。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

流体力学偏微分方程

01定义

流体力学的核心方程是欧拉方程（无粘）与纳维-斯托克斯方程（有粘）：质量与动量守恒的非线性 PDE 组。N-S 方程三维解的整体存在光滑性是克雷数学研究所七大千禧年难题之一。

N-S 方程描述的流场：非线性孕育湍流

N-S = 对流（非线性）+ 压力（约束）+ 粘性（扩散）；不可压条件 $\nabla\cdot u=0$ 使压力成为拉格朗日乘子。

二维整体光滑解存在（1960 年代）；三维仅有局部解与小初值整体解；爆破与否未知——克雷千禧年难题悬赏百万美元。

$Re=UL/\nu$ 控制层流-湍流转捩；湍流的能量级联（柯尔莫哥洛夫 -5/3 律）仍是统计物理的开放问题。

u_t+(u\cdot\nabla)u=-\nabla p+\nu\Delta u,\quad\nabla\cdot u=0

欧拉 1757 年给出无粘方程；纳维 1822、斯托克斯 1845 年补入粘性项；勒雷 1934 年证明弱解整体存在（可能奇异），开启现代研究。

航空与汽车 CFD 设计、天气预报与洋流模拟、心血管血流分析、核反应堆热工水力——工程数值仿真的最大用户。

Rankine 涡：刚体核 + 位势尾核内像刚体转动（v ∝ r），核外环量守恒（v ∝ 1/r）

R 涡核半径1.20