概念

量子力学

薛定谔方程描述量子态演化，散射理论研究粒子相互作用的渐近行为。

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量子力学偏微分方程

01定义

薛定谔方程

i\hbar\psi_t=\hat H\psi

是量子态演化的基本 PDE：波函数在希尔伯特空间中由自伴哈密顿算子驱动幺正演化。散射理论研究粒子碰撞的渐近行为，谱理论给出能级。

量子隧穿：波函数穿过势垒的散射过程

$i\hbar\psi_t=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi$ ：幺正演化保 $L^2$ 范数（总概率 = 1）；自伴性保证能级为实数。

定态 $\hat H\psi=E\psi$ 是本征值问题：氢原子能级 $E_n\propto-1/n^2$ 由算子谱精确算出——谱理论最辉煌的物理胜利。

波算子 $\Omega_\pm$ 比较自由与受扰演化；S 矩阵编码截面与共振；渐近完备性是数学上最艰深的部分。

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V\psi

薛定谔 1926 年提出波动方程并解出氢原子；冯·诺依曼 1932 年以希尔伯特空间与自伴算子严格化；库克、黑格等人 1950-70 年代建立散射数学理论。

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高斯波包扩散：位置不确定性增大增大 t：自由粒子波包 |ψ|² 越来越宽，动量分布保持不变

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