实分析
测度与积分的现代理论：勒贝格测度推广长度到更多集合，勒贝格积分克服黎曼积分的局限（收敛定理），傅里叶分析研究函数的频率分解，是概率论与泛函分析的基石。
4 个分节9 个概念
§ 01
测度论
长度、面积、体积的推广：外测度用覆盖定义「大小」，σ-代数圈定可测集合的范围。
§ 02
勒贝格积分
更强大的积分理论：先对简单函数定义积分再取极限，收敛定理让积分与极限可以交换，L^p 空间是完备的积分空间。
§ 03
傅里叶分析
函数的频率分解：傅里叶级数把周期函数分解为正弦波，傅里叶变换处理非周期函数，是现代信号处理与 PDE 的引擎。
§ 04
微分与不定积分
微积分基本定理的深化：有界变差与绝对连续是「可微性」的精确条件，勒贝格微分定理是牛顿-莱布尼兹公式的推广。