概念

可测函数

可测函数由简单函数逐点逼近，依测度收敛是比逐点收敛更灵活的收敛概念。

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可测函数实分析

01定义

可测函数是「原像可测」的函数：每个水平截口

\{f>t\}

都是可测集。可测函数恰是简单函数（有限值分块常值）的逐点极限——从最简单的构件逼近一切，这是勒贝格积分的构造蓝图。

可测性：一切水平截口的投影都可测

任何非负可测函数都是递增简单函数列的逐点极限；积分先对简单函数定义（值 × 测度之和），再取极限。

几乎处处、依测度、 $L^p$ 收敛强弱分明：a.e. $\not\Rightarrow$ 依测度（无有限测度假设）；有限测度下 a.e. $\Rightarrow$ 依测度（叶戈罗夫更给出「几乎一致」）。

可测函数的极限、连续复合、上下确界仍可测；连续函数与博雷尔函数都可测——日常见到的函数几乎全部合格。

f\ \text{可测}\iff\{x:f(x)>t\}\ \text{可测},\ \forall t\in\mathbb{R}

勒贝格 1904 年《积分、长度与面积》系统阐述可测函数；博雷尔、贝尔的函数分层（贝尔纲）揭示了可测函数的层级结构。

随机变量即测度空间上的可测函数——概率论的现代定义；图像处理的可测选择、经济学的可测选择定理（存在性证明）。

可测函数：简单函数逼近阶梯函数列 φₙ → f：每层误差 ≤ 1/2ⁿ

n 阶梯层数2