逻辑与集合论
数学推理的基础语言与对象描述框架：数理逻辑把「证明」本身形式化为可研究的对象，集合论则为一切数学对象提供统一的容器语言，两者共同奠定了现代数学的严格性基础。
数理逻辑
研究形式化推理系统的元学科，用符号语言刻画「什么是有效论证」，其成果（如完备性与不可判定性）深刻影响了数学基础与计算机科学。
命题逻辑
研究由联结词（与、或、非、蕴涵）组成的命题复合规则，核心工具是真值表、等值演算与主析取/主合取范式。
查看详情 →谓词逻辑
在命题逻辑基础上引入量词与谓词构成一阶语言，刻画「所有/存在」等复杂断言，哥德尔完备性定理保证其语义与推演一致。
查看详情 →证明论
把数学证明本身作为研究对象，通过自然演绎、相继式演算等形式系统分析证明结构，序数分析用于衡量理论的一致性强度。
查看详情 →模型论
研究形式理论与它的解释（结构）之间的关系，核心成果包括紧致性定理与勒文海姆-斯科伦定理，说明一阶逻辑无法唯一刻画无限结构。
查看详情 →可计算性理论
研究「什么是可计算的」：图灵机与递归函数给出计算的精确模型，停机问题的不可判定性表明存在本质不可解的问题，复杂性层级则度量求解代价。
查看详情 →集合论
研究集合这一最基础的数学对象容器：从直观的集合运算出发最终走向公理化，用一组精确的公理刻画集合宇宙，并研究无穷的精细分层。
朴素集合论
以直观方式研究集合、关系、函数、等价关系与序结构，是各数学分支的日常语言，但因罗素悖论而需要公理化修正。
查看详情 →公理集合论(ZFC)
策梅洛-弗兰克尔公理系统加选择公理构成现代数学的标准基础，通过累积层级避免悖论，正则公理保证集合宇宙的良基性。
查看详情 →序数与基数
研究无穷的两种度量：序数按良序的「长度」分层，基数按「大小」分层，超限归纳与基数算术描述无穷集合间的精确运算。
查看详情 →选择公理
断言任何非空集族都能选出代表元，与佐恩引理、良序定理等价，是大量存在性证明（如线性空间的基）的关键工具，也引发了关于非构造性证明的争论。
查看详情 →大基数与内模型
研究超出 ZFC 常规宇宙的强无穷公理（如不可达基数、可测基数），以及构造精细的内模型（如 L）来理解公理间的相对一致性，决定性公理则在特定结构下给出优美的正则性。
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