概念

序数与基数

研究无穷的两种度量：序数按良序的「长度」分层，基数按「大小」分层，超限归纳与基数算术描述无穷集合间的精确运算。

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序数与基数逻辑与集合论

01定义

无穷的两种度量：序数刻画良序的「长度」（

\omega, \omega+1, \omega\cdot 2, \dots

），基数刻画集合的「大小」（

\aleph_0, \aleph_1, \dots

）。康托尔定理断言

|X|<|\mathcal{P}(X)|

——无穷有无穷多个层级。

康托尔对角线法：实数不可列，ℵ₀ 之上还有更大基数

$\omega+1\neq 1+\omega$ ， $\omega\cdot 2\neq 2\cdot\omega$ ——序数运算不交换；超限归纳沿序数逐层证明，是集合论的标准技术。

$\aleph_0<\aleph_1<\aleph_2<\cdots$ ； $\aleph$ 层级与 $\beth$ 层级（反复幂集）可能分岔——连续统假设问的正是 $2^{\aleph_0}\stackrel{?}{=}\aleph_1$ 。

$\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ ， $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$ ，甚至 $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ ——无穷算术与有限直觉彻底分道。

|X|<|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\quad(\text{康托尔})

\omega+1\neq 1+\omega\quad(\text{序数不交换})

康托尔 1874 年首证实数不可数，1891 年给出对角线法；序数与基数的系统理论由他于 1890 年代建立，曾遭克罗内克激烈反对，如今是数学的常识。

拓扑学的基数不变量（空间的密度、权重）、模型论的基数方法（Morley 定理）、计算理论中的不可数对象空间分析。

希尔伯特旅馆：无穷基数的等势每位客移入下一号房间：腾出 1 号给新客——|ℕ| = ℵ₀

已入住房间6