运算满足交换律的群，如整数加群 $\mathbb{Z}$。以证明五次方程无根式解的阿贝尔命名。

是某个整系数多项式方程的根的数，如 $\sqrt{2}$；不是代数数的实数称为超越数。

任意两个正数中，较小者累加有限次总能超过较大者；实数系满足而某些非标准数系不满足。

只有 0 与 1 的代数结构，刻画与、或、非三种逻辑运算，是数字电路的理论基础。

$P(A|B)=\dfrac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$，由结果反推原因的概率公式，是机器学习与医学诊断的核心工具。

两个整数的最大公约数可以写成它们的线性组合：存在 $x,y$ 使 $ax+by=\gcd(a,b)$。

由对象与对象间的态射组成的抽象结构，研究「结构之间的关系」而非结构本身，是现代数学的统一语言。

项与项之间的距离最终任意小的序列；在完备空间中柯西序列必收敛。

不断删去线段中间三分之一后剩下的点集：长度为零却与整个区间等势，是分形与反例构造的源泉。

可微且逆映射也可微的一一对应；微分拓扑中两个流形「光滑等价」的定义。

向量空间上全体线性泛函构成的空间，$V^{**}$ 与 $V$ 自然同构是线性代数的重要定理。

用有理数的分割严格定义实数：每个分割对应一个实数，是无理数「存在」的构造性证明。

线性变换 $A$ 满足 $Av=\lambda v$ 的数 $\lambda$；特征值分解是主成分分析与量子力学的基础。

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，把指数函数与三角函数连为一体，令 $\theta=\pi$ 得到最美公式 $e^{i\pi}+1=0$。

满足自反、对称、传递的关系，如「模 n 同余」；等价关系把集合划分为互不相交的等价类。

把函数分解为不同频率正弦波的叠加，是信号处理、图像压缩与偏微分方程的万能钥匙。

加减乘除（除零外）都封闭的代数结构，如有理数域 $\mathbb{Q}$、有限域 $\mathbb{F}_p$。

范畴之间的「保持结构的映射」，把对象映为对象、态射映为态射，是同调代数的骨架。

带结合律、单位元与逆元的运算结构，是「对称性」的数学定义，伽罗瓦用它解决五次方程问题。

把方程可解性问题转化为群的子结构问题：n 次方程有根式解当且仅当相关群「可解」。

两数公共约数中最大者；欧几里得辗转相除法可在对数时间内算出 $\gcd(a,b)$。

两个映射之间可连续变形的「中间过程」；同伦不变量是代数拓扑的核心研究对象。

完备的内积空间，无穷维向量空间的典范，是量子力学中状态空间的数学舞台。

用链复形刻画空间的「洞」：$H_0$ 数连通分支，$H_1$ 数环洞，$H_2$ 数空腔。

环中「吸收乘法」的子结构：对理想 $I$，$rI\subseteq I$；素理想与极大理想对应几何中的点。

保持结构的双向映射；同构的对象在数学上「视为相同」，如 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。

推广点积的二元运算，定义长度与角度；$\langle u,v\rangle=0$ 即两向量正交。

多元函数的全导数：由各偏导数组成的矩阵，其行列式表示局部体积伸缩率。

映射到零元的全部输入：$\ker f=\{x\mid f(x)=0\}$；「零空间」刻画了映射丢失的信息。

$\delta_{ij}=1$（若 $i=j$）否则为 0；张量运算与正交基表示中的记法利器。

变量逼近某值时函数值的「最终去向」，$\epsilon$-$\delta$ 定义使之严格化，是分析学的基石。

既是群又是光滑流形、运算光滑的结构；旋转群 $SO(3)$ 是最典型的例子，与对称性理论深度绑定。

按函数值「分层」而非按自变量分段求和，能处理黎曼积分无法处理的病态函数，支撑了现代概率论。

局部像欧氏空间的拓扑空间：球面、环面、群轨道都是流形；广义相对论的时空是四维流形。

在群作用下具有对称性、定义于上半平面的全纯函数；费马大定理的证明即由模形式与椭圆曲线的联系完成。

长度、面积、体积的严格推广：给集合赋「大小」的函数，是概率论的严格基础。

向量的「长度」公理化定义：非负性、齐次性与三角不等式；不同范数产生不同的几何。

对共轭封闭的子群 $gHg^{-1}=H$；正规子群恰是群的同态核，其商群良定义。

康托尔对「数数过程」的无穷推广：$\omega$ 表示自然数序列的极限位置，后又有 $\omega+1$、$\omega^2$……

内积为零的关系；正交基与正交分解（如傅里叶级数）是分析与代数的共同骨架。

大于 1 且只有 1 与自身两个正因数的整数；算术基本定理：每个整数唯一分解为素数之积。

形如 $a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ 的表达式；复数域上 n 次多项式恰有 n 个根（代数基本定理）。

全空间测度为 1 的测度；柯尔莫哥洛夫公理化后，概率论成为测度论的一个分支。

把群按正规子群「折叠」得到的新群：$G/H$ 的元素是陪集 $gH$；模运算 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 即为一例。

带加法的阿贝尔群加上满足分配律的乘法；整数环、多项式环是典型例子，环论是代数数论的语言。

一维复流形：多值函数（如 $\sqrt{z}$）在黎曼曲面上成为单值函数，是复分析的几何舞台。

用自身定义自身：$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$；递归与数学归纳法互为表里。

使流形上的微积分可以进行的坐标图册；同一个拓扑流形可带不同的光滑结构（如七维球面上的「怪球」）。

算子的特征值全体（或其推广）；谱理论把矩阵对角化推广到无穷维，是量子力学「观测」的数学含义。

带闭非退化 2-形式的流形；经典力学的相空间是辛流形，辛几何是「力学的几何」。

向量与线性映射的推广：多重线性对象；广义相对论用张量描述时空曲率。

研究连续变形下不变的性质：连通性、紧性、洞的个数；「甜甜圈与咖啡杯同胚」是其经典比喻。

不是任何整系数多项式方程的根的数；$\pi$ 与 $e$ 都是超越数（林德曼、埃尔米特证明），故化圆为方不可能。

函数列以「同一速度」逼近极限函数；一致收敛保证极限函数的连续性与可积性可交换极限。

可做加法与数乘的集合，满足八条公理；线性代数的主体结构，函数空间是其无穷维例子。

$\mathrm{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]$，随机变量偏离期望的程度的度量；标准差是其平方根。

处处连续却处处不可微的函数，以傅里叶级数构造，颠覆了「连续曲线几乎处处可导」的直觉。

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$ 的解析延拓；黎曼猜想断言其非平凡零点都在 $\mathrm{Re}(s)=1/2$ 上。

现代数学的标准公理集合论：九条公理加选择公理，绝大多数数学可在其中形式化；其一致性无法在系统内部证明。