泛函分析
无穷维空间上的分析：巴拿赫与希尔伯特空间推广有限维线性代数，算子理论（谱理论）是量子力学与 PDE 的语言，分布理论让「广义函数」合法化。
4 个分节8 个概念
§ 01
巴拿赫空间
完备赋范空间：三大基本定理（哈恩-巴拿赫、一致有界、开映射）是泛函分析的支柱。
§ 02
希尔伯特空间
完备内积空间：几何直觉（正交、投影）完全保留，正交基展开与里斯表示是量子力学的数学基础。
§ 03
算子理论
空间之间的线性映射：紧算子、Fredholm 算子刻画「几乎有限维」行为，谱理论分解算子的特征信息。
§ 04
分布理论
广义函数：施瓦茨分布让 δ 函数等「病态对象」合法，Sobolev 空间在分布意义下定义微分。