概念

有界算子

算子范数度量映射的伸缩，紧算子把有界集映为相对紧集，Fredholm 理论处理有限核余核的可解性。

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有界算子泛函分析

01定义

有界线性算子是赋范空间间的连续线性映射，算子范数度量其最大伸缩率。紧算子把有界集压成相对紧集——「近似有限维」的好算子；弗雷德霍姆理论描述其可解性结构。

紧算子：单位球被压扁成可近似有限维的像

$\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|$ ：连续 $\iff$ 有界； $B(X,Y)$ 自身是巴拿赫空间——「算子的空间」再上分析。

$I-K$ （ $K$ 紧）要么可逆，要么有非平凡核——无穷维版的「行列式为零」判别；指标 $\dim\ker-\dim\mathrm{coker}$ 是拓扑不变量。

有限维谱 = 特征值全体；无穷维还有连续谱与剩余谱（移位算子为例）——谱论因此需要更精细的工具。

\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|,\quad\operatorname{ind}(T)=\dim\ker T-\dim\operatorname{coker}T

希尔伯特 1904-1910 年研究积分方程（紧算子原型）；里斯与施密特发展谱理论；弗雷德霍姆 1903 年的择一定理是积分方程理论的顶点。

积分方程数值解（奈斯特伦法收敛性）、量子力学束缚态的离散能级、阿蒂亚-辛格指标定理的分析侧、CT 重建的算子理论。

算子范数：单位圆 → 椭圆的长半轴增大 s：椭圆被拉长，‖A‖ = 最大奇异值 σ₁ 随之增大

s 拉伸参数1.80