概念

广义函数

检验函数空间的对偶定义分布，δ 函数、主值积分都是分布，微分在分布意义下总是可行。

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广义函数泛函分析

01定义

广义函数（分布）是检验函数空间上的连续线性泛函：δ 函数、主值

1/x

都是合法的分布。每个分布都可微、微分仍为分布——「广义意义下」微积分不再有例外。

δ 分布：高斯峰的弱极限，作用即求值

「函数是什么」不重要，「它对检验函数做了什么」才重要： $\langle T,\varphi\rangle$ 取代逐点值——弱观点的又一次胜利。

$\langle T',\varphi\rangle=-\langle T,\varphi'\rangle$ ：一切分布无穷次可微； $|x|'=\mathrm{sgn}\,x$ ， $\mathrm{sgn}'=2\delta$ ——折点微分不再违规。

PDE 的基本解是 $LT=\delta$ 的解：热核、泊松核、波动核都是分布意义的基本解——格林函数方法的统一框架。

\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0),\quad\langle T',\varphi\rangle=-\langle T,\varphi'\rangle

狄拉克 1930 年物理上使用 δ 函数遭数学家质疑；施瓦茨 1950-1951 年以分布理论严格化（获 1950 菲尔兹奖）；索博列夫早一步给出弱导数版本。

点源物理场（点电荷、质点）、信号处理的脉冲响应、PDE 基本解与格林函数、控制论的传递函数——点状对象的通用数学化身。

δ 函数：测试函数求值泛函把 ε 拖小：近似脉冲越来越高、越窄，作用在 φ 上的积分稳定地收敛于 φ(0)

ε 脉冲宽度0.45