概念

谓词逻辑

在命题逻辑基础上引入量词与谓词构成一阶语言，刻画「所有/存在」等复杂断言，哥德尔完备性定理保证其语义与推演一致。

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谓词逻辑逻辑与集合论

01定义

谓词逻辑（一阶逻辑）在命题逻辑上加入量词

\forall, \exists

与谓词、函数符号，能刻画「所有/存在」的复杂断言。哥德尔完备性定理保证：语义上为真的恰是可形式证明的。

量词的语义：∀ 遍历论域每点，∃ 只需一个见证

符号表（谓词、函数、常量）+ 变元 + 量词构成语言；句子是有结构的字符串，语法与语义严格分离。

哥德尔 1929 年证明： $\models\varphi\iff\vdash\varphi$ ——每个逻辑有效的句子都有形式证明，语义与推演完美一致。

一阶逻辑无法表达「有限」「可数」等二阶性质（紧致性定理的推论）——这一限制催生了模型论与高阶逻辑的研究。

\neg\forall x\,P(x)\equiv\exists x\,\neg P(x)

\models\varphi\iff\vdash\varphi\quad(\text{哥德尔完备性})

弗雷格 1879 年建立第一个完整的一阶演算；希尔伯特学派推进形式化；哥德尔 1929 年博士论文证明完备性定理，1931 年又证明不完备性定理——一正一反界定了一阶逻辑的能力。

数据库查询语言（SQL 的关系演数基础）、程序形式验证、数学定理证明器（Lean、Isabelle）都以一阶逻辑为核心引擎。

量词：∀ 与 ∃ 的真值P(x)=sin x + c：∀x.P(x) 当 c>1；∃x.P(x) 当 c>−1

偏移 c0.40量词0