模型论
研究形式理论与它的解释（结构）之间的关系，核心成果包括紧致性定理与勒文海姆-斯科伦定理，说明一阶逻辑无法唯一刻画无限结构。
所属主题：逻辑与集合论 ↗阅读路径
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01定义
模型论研究形式理论与其解释（结构）之间的关系：一个理论有哪些模型、模型之间如何互映。紧致性定理与勒文海姆-斯科伦定理揭示一阶逻辑的根本限制——它无法唯一刻画无穷结构。
02核心要点
01
紧致性定理
若理论的每个有限子集有模型，则整个理论有模型——可用它构造「非标准模型」（含无穷大整数的算术），一阶逻辑无法排除它们。
02
勒文海姆-斯科伦
可数语言的理论若有无穷模型，则有可数模型——「可数模型满足实数公理」的斯科伦悖论说明一阶语言对无穷无能为力。
03
现代应用
模型论与代数几何深度融合（Hrushovski 用模型论证明函数域 Mordell-Lang 猜想）；o-极小性理论支撑实代数几何的计数估计。
03关键公式
04历史沿革
勒文海姆 1915、斯科伦 1920 的定理奠基；塔尔斯基 1950 年代发展语义学与可定义性理论；莫利、扎斯勒的稳定性理论（1960-70）使模型论成为强大工具。
05应用与延伸
非标准分析（含无穷小量的严格微积分）、数据库理论的查询语义、程序规约的形式语义都以模型论为地基。
06交互演示
同一语句在不同模型中的解集语句 φ: x+x=0 在 (Z, +) 中只有 1 个解，在 (Z/nZ, +) 中却有 gcd(2,n) 个解