拉普拉斯方程
椭圆型方程，调和函数满足平均值性质与强正则性，静电势、引力势都是调和函数。
所属主题：偏微分方程 ↗阅读路径
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01定义
拉普拉斯方程 描述无源稳态场：静电势、引力势、稳态温度都是调和函数。平均值性质、极值原理与无穷光滑性使调和函数成为「最规矩」的函数类。
02核心要点
01
极值原理
调和函数内部无严格极值（除非恒常数）——稳态温度由边界决定；由此得狄利克雷问题解的唯一性与连续依赖。
02
泊松核与格林函数
圆上狄利克雷问题有泊松积分显式解；一般区域靠格林函数；与位势论、随机游走（调和测度）深度互通。
03
正则性
调和函数解析（等于泰勒级数）；刘维尔定理：全平面有界调和函数必常数——复分析刘维尔定理的高维版。
03关键公式
04历史沿革
拉普拉斯 1782 年研究引力势时发现方程；格林 1828 年引入格林函数；狄利克雷原理之争推动魏尔斯特拉斯与希尔伯特发展变分方法。
05应用与延伸
静电场与引力场计算、稳态热传导、理想流体势流、保角映射的工程应用、机器学习的调和函数半监督学习。
06交互演示
拉普拉斯方程：调和函数与平均值性质Δu = 0：圆内任一点值 = 其圆周上的平均值