概念

共形映射

全纯且导数非零的映射保角，莫比乌斯变换把圆映为圆，是流体力学与图像变形的工具。

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共形映射复分析

01定义

全纯且导数非零的映射保持角度不变（保角）：小图形被旋转缩放而不被剪切。莫比乌斯变换把圆与直线互相映射，共形映射是流体力学、静电学与几何建模的天然工具。

共形映射：图形被弯折但交角不变

$z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}$ ：保圆族（圆与直线）、保交角、保对称点，构成复球面的自同构群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ 。

共形映射连续延拓到边界（卡拉西奥多里定理）：边界曲线的光滑性决定延拓的正则性——施瓦茨反射是经典技巧。

格里奇定理、面积定理给出系数界；比贝尔巴赫猜想（德布朗日 1984 证明）是几何函数论的巅峰之战。

f\ \text{共形}\iff f\ \text{全纯且}\ f'\neq 0

黎曼 1851 年博士论文以共形映射为核心观点；克莱因、庞加莱用莫比乌斯变换统一三种几何；比贝尔巴赫猜想悬置 68 年终获证。

机翼绕流的儒科夫斯基变换、地图投影的麦卡托法（保角）、脑部皮层展平成像、纹理参数化——保角是工程的第一选择。

共形映射 z → z²：角度翻倍旋转输入射线，观察输出射线角度 ×2

θ 射线角0.90