概念

留数定理

留数是洛朗展开中 (z-a)^-1 的系数，留数定理把围道积分化为留数之和，是计算实定积分的利器。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

留数定理复分析

01定义

留数是洛朗展开中

(z-a)^{-1}

的系数，衡量奇点处的「积分残留」。留数定理把围道积分化为内部奇点留数之和——大量困难的实定积分由此化为代数运算，是复分析最强的计算武器。

留数定理：积分只由圈内奇点的留数决定

奇点邻域内 $f=\sum a_n(z-a)^n$ ，负幂部分刻画奇性； $\mathrm{Res}_a f=a_{-1}$ ，极点处有快速公式 $\lim(z-a)f(z)$ 。

$\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}=\pi$ 、 $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$ ：上半平面围道 + 约当引理，实积分的围道化是标准节目。

$\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f'}{f}=$ 零点数 − 极点数：儒歇定理与稳定性判据（奈奎斯特判据）都由此出。

\oint_\gamma f\,dz=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}_{a_k}f

柯西 1826-1829 年发展留数（résidu）概念；19 世纪后半叶成为复分析教材的固定章节；中国数学家在围道积分技巧上亦有教学传统。

控制论的奈奎斯特稳定性判据、量子场论的费曼积分、数论的 ζ 函数围道计算、电路频域响应的极点分析。

留数定理：∮ 1/(z−a) dz = 2πi 或 0围道圈住极点 a 则积分为 2πi，否则为 0

极点 a1.00围道半径 R1.20