概念

反常积分

无穷区间或无界函数的积分通过取极限定义，比较判别法等审敛法判断收敛性。

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反常积分数学分析

01定义

反常积分把积分推广到无穷区间与无界函数：先截断再取极限。比较判别法、极限形式与阿贝尔-狄利克雷判别法构成审敛体系；条件收敛揭示「积分顺序有讲究」。

无穷区间积分：尾部面积取极限，x⁻ᵖ 型判据 p>1

无穷限型 $\int_a^\infty$ 与瑕积分（被积函数无界）都定义为截断极限；两者可复合出现，需逐点检查。

与 $x^{-p}$ （无穷限）或 $(x-a)^{-p}$ （瑕点）比较： $p>1$ 收敛；极限形式 $\lim f/g\in(0,\infty)$ 则同敛散——最常用的判据。

$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{2}$ 条件收敛（狄利克雷判别法）；条件收敛的反常积分重排可能变值——收敛的精细分层。

\int_1^\infty x^{-p}\,dx=\begin{cases}\frac{1}{p-1},&p>1\\ \infty,&p\leq 1\end{cases}

费马 1660 年代已计算 $x^{-p}$ 型反常积分；欧拉大量使用发散级数与反常积分；19 世纪严格化后审敛法体系由柯西、阿贝尔、狄利克雷完善。

概率密度归一化（高斯积分）、物理中的无穷域能量计算、伽马函数与贝塔函数——特殊函数的定义全靠反常积分。

反常积分 ∫₁^∞ x^(−p) dx 的敛散性p > 1 收敛，p ≤ 1 发散：面积有限还是无限？

p 指数1.20