概念

数项级数

正项级数（比较、比值、根值判别）、交错级数（莱布尼茨判别）与绝对收敛构成判别法体系。

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数项级数数学分析

01定义

数项级数研究无穷求和

\sum a_n

：部分和序列收敛则级数收敛。正项级数有比较、比值、根值判别法，交错级数由莱布尼茨判别法定敛，绝对收敛保证重排不改变和。

几何级数 Σ1/2ⁿ = 1：无穷项之和有限

比较（与大级数比）、比值（ $\lim|a_{n+1}/a_n|<1$ ）、根值（柯西）、积分判别法——正项级数四大判据各擅胜场。

交错级数 $\sum(-1)^na_n$ ： $a_n\searrow 0$ 即收敛，余项不超过第一项—— $\ln2=1-1/2+1/3-\cdots$ 的理论保证。

绝对收敛级数任意重排、任意加括号和不变；条件收敛则可重排成任意和（黎曼重排定理）——收敛分级至关重要。

\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac{1}{1-r}\ (|r|<1),\quad\sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

奥雷斯姆 1350 年证明调和级数发散；欧拉 1735 年求出巴塞尔问题 $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ 一鸣惊人；阿贝尔与狄利克雷 19 世纪完善判别法体系。

数值级数截断的误差控制、金融永续年金估值、概率分布的归一化验证、ζ 函数与素数分布研究的起点。

巴塞尔问题：Σ1/n² → π²/6增大 N：部分和缓慢爬升，逼近欧拉给出的精确值 π²/6

N 求和项数5