概念

幂级数

全纯函数局部等于幂级数，收敛半径由奇点位置决定，解析延拓与恒等定理说明全纯函数「牵一发而动全身」。

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幂级数复分析

01定义

全纯函数局部必等于其泰勒级数（解析性）：收敛半径由最近奇点决定。解析延拓与恒等定理说明全纯函数「牵一发而动全身」——一小块上的取值决定整个连通域上的函数。

收敛圆盘与解析延拓：奇点定半径，绕道可续

$R=1/\limsup\sqrt[n]{|a_n|}$ ，且 $R$ = 展开中心到最近奇点的距离；圆盘内级数绝对且内闭一致收敛，可逐项求导。

两全纯函数在任一聚点集上相等则全域相等；零点孤立——全纯函数被「任意小的一块」唯一决定。

沿路径逐段重展开可越过原收敛域；延拓可能多值（ $\log z$ ），催生黎曼面；ζ 函数经延拓才获得全域定义。

f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n\quad(|z-a|<R)

泰勒 1715 年引入级数展开；柯西 1821 年给出收敛半径理论；魏尔斯特拉斯 19 世纪中叶以幂级数为基础重建整个复分析。

ζ 函数解析延拓与素数定理证明、量子场论的微扰展开、渐近分析与鞍点法——级数语言贯穿理论与物理。

泰勒多项式逼近 eˣ增大阶数 n：麦克劳林多项式在 x=0 附近越贴越紧，收敛半径为无穷

n 展开阶数2