概念

柯西-黎曼方程

复可微等价于实部虚部满足柯西-黎曼方程，从而全纯函数与调和函数、共形映射联系起来。

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柯西-黎曼方程复分析

01定义

复可微远比实可微苛刻：

f=u+iv

复可微当且仅当实部虚部满足

u_x=v_y,\ u_y=-v_x

。这两个方程把全纯函数与调和函数、共形映射紧紧绑定——复分析的刚性之源。

等值线正交网：u 与 v 的水平集互相垂直

复导数要求沿任何方向趋近极限相同：沿实轴得 $u_x+iv_x$ ，沿虚轴得 $v_y-iu_y$ ——两者相等即得 C-R 方程。

C-R 方程再微分即得 $\Delta u=\Delta v=0$ ：全纯函数的实虚部都是调和函数——复分析免费赠送位势论。

$f'(z)\neq 0$ 处映射局部是旋转加缩放，角度不变——C-R 方程恰是「保角」的解析表述。

u_x=v_y,\quad u_y=-v_x\iff f\ \text{全纯}

达朗贝尔 1752 年研究流体力学时率先发现；柯西 1814、黎曼 1851 年分别用于奠定复分析——方程因此冠以三人之名。

二维势流计算（机翼绕流）、静电场的复势方法、图像处理的共形纹理映射——保角结构是二维场论的捷径。

柯西-黎曼方程：保角 vs 翻折切换映射：全纯映射保角，共轭映射翻转定向

映射 0:z 1:z̄ 2:z²0