概念

柯西积分定理

单连通区域内全纯函数的闭围道积分为零，柯西积分公式进一步给出函数值由边界值决定。

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柯西积分定理复分析

01定义

单连通区域内全纯函数的闭围道积分为零；柯西积分公式更进一步：函数在内部任一点的值由边界积分完全决定。全纯函数的「刚性」与平均值性质都从这里流出。

柯西积分公式：内部取值由围道积分给出

闭围道积分 $\oint f\,dz=0$ （单连通）；积分公式把 $f(z_0)$ 写成边界积分——由此推出无穷可微与各阶导数公式。

全纯 $\Rightarrow$ 解析（无穷可微且等于泰勒级数）；刘维尔定理（有界整函数必常数）；代数学基本定理的复分析证明。

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})d\theta$ ：中心值等于圆周平均——调和函数共享此性质，极值原理的源头。

\oint_\gamma f\,dz=0,\quad f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz

柯西 1825 年向科学院提交积分定理手稿（1846 年才正式发表）；黎曼以拓扑观点重新阐述；古尔萨去除可导连续性假设给出最简证明。

实积分的围道计算、解析函数的数值重构、弹性力学与流体的复势积分——「边界决定内部」是分析学的核心范式。

柯西积分定理：闭曲线积分 = 0无奇点区域内任意闭曲线积分为 0；包围奇点时 = 2πi·Res

奇点位置1.20