概念

初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数与复合构成初等函数族，是建模与微积分最常用的对象。

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初等函数初等代数

01定义

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，经有限次四则运算与复合所得，统称初等函数。它们是建模自然现象的基本词汇，也是微积分运算的主要对象。

三大基本初等函数：指数、对数、三角函数

$a^x$ 与 $\log_a x$ 互为反函数；自然底数 $e$ 使 $(e^x)'=e^x$ ，成为分析学的中心角色；对数把乘法化为加法，是计算的「降维打击」。

$\sin, \cos$ 以 $2\pi$ 为周期，刻画一切振动与旋转；欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 把三角函数与指数函数统一。

初等函数经复合仍初等，且在其定义区间内连续、可导——「初等」保证了良好的分析性质，这是它被优先选作模型的原因。

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

纳皮尔 1614 年发明对数以简化天文计算；欧拉 1748 年《无穷分析引论》确立函数的现代地位并统一指数、对数与三角函数；初等函数概念随微积分教材定型。

复利与人口模型用指数函数、pH 与声强用对数刻度、声光电信号分析用三角函数——初等函数是科学建模的第一语言。

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