概念

导数

导数定义为差商的极限，四则运算、链式法则与高阶导数是计算的基础。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

导数数学分析

01定义

导数是差商

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

的极限，度量函数的瞬时变化率：几何上是切线斜率，物理上是速度。四则法则、链式法则与高阶导数构成微分计算的全部语法。

割线取极限成为切线：导数的几何意义

乘积、商、链式法则 $(f\circ g)'=f'(g)\cdot g'$ ；反函数导数 $(f^{-1})'=1/f'$ ——一切初等函数导数由此机械算出。

$n$ 阶导数刻画弯曲程度与更高阶形态；莱布尼茨公式 $(fg)^{(n)}=\sum\binom nk f^{(k)}g^{(n-k)}$ 与二项式定理同构。

可导必连续，连续不必可导；魏尔斯特拉斯构造出处处连续无处可导的函数——直觉不可依赖，定义才是裁判。

f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

牛顿（流数）与莱布尼茨（微分符号）17 世纪各自独立发明；19 世纪柯西、魏尔斯特拉斯以极限严格化；费马早一步的「切线法」是思想先驱。

物理学的速度与加速度、经济学的边际分析、机器学习的梯度下降、工程的灵敏度分析——「变化率」是定量科学的第一概念。

割线 → 切线：导数的极限过程把 Δ 拖向 0：过 x₀ 的割线旋转着逼近切线，斜率即导数

x₀ 切点1.20Δ 增量1.50