概念

切线与法线

参数曲线的切线与法线由导数确定，是几何问题过渡到微分问题的第一步。

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切线与法线解析几何

01定义

切线是割线的极限位置，其斜率即导数

f'(x_0)

；法线过切点且垂直于切线。切线给出曲线在一点的最佳线性近似，是「以直代曲」微分思想的几何化身。

曲线在 P 点的切线（实线）与法线（虚线）互相垂直

割线斜率 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 取极限得切线斜率 $f'(x_0)$ ——费马的切线法正是微分学的前身。

$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ ；参数曲线 $(x(t), y(t))$ 的切线斜率为 $\frac{y'(t)}{x'(t)}$ ，隐函数曲线用隐函数求导。

一族直线的包络是与每条直线相切的曲线（如弦线族包络出抛物线），是切线概念的反向运用。

y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)

\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\quad(\text{参数曲线})

k_{\text{法}}=-\frac{1}{f'(x_0)}

费马 1629 年的切线法与笛卡尔的「圆切法」是微积分的直接源头；牛顿与莱布尼茨把切线问题纳入统一的导数框架。

光学反射以法线定反射角；数控加工刀具沿法向补偿；最优化的一阶条件「梯度为零」即切线水平的高维版本。

抛物线 y = x²/4 的切线与法线移动 x₀：切线斜率 = x₀/2，法线与之垂直

x₀ 切点横坐标1.60