概念

向量运算

点积（内积）测长度与夹角，叉积（外积）给出垂直向量，混合积给出平行六面体体积，三者构成空间几何计算工具箱。

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向量运算解析几何

01定义

向量是既有大小又有方向的量。点积

\vec a\cdot\vec b

度量夹角与投影，叉积

\vec a\times\vec b

构造垂直向量并给出面积，混合积

(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c

给出体积——三者构成空间几何的计算工具箱。

点积度量夹角 θ；叉积的模等于 a、b 张成的平行四边形面积

$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ ；垂直即点积为零；投影 $|\vec b|\cos\theta$ 是分量分析的基础。

$\vec a\times\vec b$ 垂直于两向量、服从右手法则，模长 $|\vec a||\vec b|\sin\theta$ 即平行四边形面积；平行即叉积为零。

$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$ 的绝对值是平行六面体体积，符号给出三向量的定向（左手/右手系）；为零即三向量共面。

\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta

|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta

V=|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c|

哈密顿 1843 年发明四元数，其「向量部分」的运算即点积与叉积的前身；吉布斯与亥维赛在 1880 年代将其提炼为现代向量分析，成为物理的标准语言。

力的分解与功（点积）、力矩与角动量（叉积）、计算机图形学的法线计算与光照模型，全部基于这三种运算。

向量加法：平行四边形法则调整 u、v 坐标，观察和向量与对角线

u.x3.00u.y1.50v.x-1.00v.y2.50