概念

矩阵运算

加法、数乘、乘法与转置对应映射运算，逆矩阵刻画可逆映射，矩阵运算的正确性由线性性保证。

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矩阵运算线性代数

01定义

矩阵是线性映射在选定基下的坐标表示：加法对应映射相加，乘法对应映射复合（故一般不可交换），转置对应伴随，逆矩阵对应可逆映射。矩阵运算是线性映射运算的「计算外壳」。

矩阵乘法对应映射复合：V→W→U 合为 BA

$(BA)x=B(Ax)$ ：先作用 $A$ 再作用 $B$ ；行乘列的规则只是这一复合在坐标下的展开。由此 $BA\neq AB$ 一般成立。

$A$ 可逆 $\iff$ 对应映射是双射；初等行变换对应左乘初等矩阵，高斯消元即把 $A$ 分解为初等矩阵之积。

$(BA)^T=A^T B^T$ （顺序反转）；实空间中 $A^T$ 是 $A$ 的伴随： $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^T y\rangle$ ——对称矩阵即自伴随算子。

(AB)C=A(BC),\quad(AB)^T=B^T A^T

A^{-1}\ \text{存在}\iff\det A\neq 0

凯莱 1858 年《矩阵论的回忆》把矩阵确立为独立代数对象并给出乘法规则；西尔维斯特命名「矩阵」（matrix，意为「母体」）；此后矩阵记号统治了线性代数。

图形变换流水线（缩放×旋转×平移）、神经网络的全连接层、状态转移（PageRank、马尔可夫链）——矩阵乘法是计算世界的核心内核。

矩阵乘法：线性变换的网格调整 2×2 矩阵，观察单位网格如何被拉伸旋转

a₁₁1.00a₁₂0.50a₂₁-0.40a₂₂1.20