概念

合同与相似变换

平移、旋转、反射构成合同变换群，位似产生相似形，用变换群看几何是克莱因纲领的起点。

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合同与相似变换欧氏几何

01定义

保持任意两点距离不变的变换称为合同变换（等距变换）；保持形状但可整体缩放的变换称为相似变换。图形的全等与相似关系正是由这两类变换联系起来的。

合同变换（平移、旋转、反射）保持距离；位似以 O 为中心缩放

平移：沿向量整体滑动；旋转：绕定点转动；反射：关于直线翻折。任何平面合同变换都可分解为至多三个反射之积——三类变换生成整个保距变换群。

位似变换以中心按比例缩放图形；相似变换 = 合同变换与位似的复合。相似比为 $k$ 时，长度比为 $k$ 、面积比为 $k^2$ 、体积比为 $k^3$ 。

1872 年克莱因在埃尔朗根纲领中提出：「几何是研究变换群作用下不变量的学问」。欧氏几何即保距变换群的不变量理论——长度、角度是其不变量；相似变换进一步放宽为「形状」不变量。

(x,y)\mapsto (x+a,\,y+b)\quad(\text{平移})

(x,y)\mapsto (x\cos\theta-y\sin\theta,\,x\sin\theta+y\cos\theta)\quad(\text{旋转})

(x,y)\mapsto (x,-y)\quad(\text{关于 } x \text{ 轴反射})

欧几里得《原本》以「叠合法」处理全等，实则默认运动不改变图形；1872 年克莱因以群论统一各派几何，奠定现代几何观；20 世纪诺特定理揭示「对称性与守恒律一一对应」，使变换群思想从数学深入物理。

平移、旋转、缩放在计算机图形学与动画渲染中无处不在；晶体结构按对称群分类（230 种空间群）；物理守恒定律与对称性的对应是近代物理的基石。

相似变换：缩放与旋转下的三角形k=1 时全等（合同）；面积比 = k²

k 相似比1.50θ 旋转角20