概念

群作用

群作用描述群如何在集合上「移动」：轨道与稳定子满足轨道-稳定子公式，西罗定理保证有限群中 p-子群的存在与共轭。

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群作用抽象代数

01定义

群作用是群在集合上「移动元素」的方式：每个群元素给出一个置换且与乘法相容。轨道-稳定子公式与伯恩赛德引理给出精确计数；西罗定理保证有限群中

p

-子群的存在与共轭。

群作用把集合分为轨道：轨道大小 × 稳定子阶 = 群阶

轨道是「能互相到达」的点的集合；稳定子是「固定某点」的子群；轨道-稳定子公式 $|G|=|\text{Orb}(x)|\cdot|\text{Stab}(x)|$ 是计数的利器。

轨道数 $=$ 各群元素固定点数的平均值——项链染色、分子构型等「模对称计数」问题的标准答案。

阶含 $p^k$ 的有限群必有 $p^k$ 阶子群，且它们彼此共轭、个数满足同余条件——有限群结构分析的「显微镜」。

|G|=|\operatorname{Orb}(x)|\cdot|\operatorname{Stab}(x)|

\#\text{轨道}=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\operatorname{Fix}(g)|

群作用观点由弗罗贝尼乌斯、伯恩赛德在 19 世纪末发展；西罗 1872 年定理是有限群论的第一个深层结构定理；凯莱定理本身就是群作用的典范。

化学中分子的对称计数（波利亚计数定理）、晶体结构的群论分类；组合计数的「去对称」问题几乎都用伯恩赛德引理解决。

群作用：C₆ 旋转作用在 6 个顶点上轨道-稳定子定理 |G| = |Orb(x)|·|Stab(x)|

群元 k2