概念

诱导与限制

诱导把子群表示升级为群表示，限制反向降级，正则表示包含所有不可约表示，弗罗贝尼乌斯互反联系两者。

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诱导与限制表示论

01定义

诱导把子群

H

的表示「升级」为群

G

的表示，限制反向「降级」。两者互为伴随（弗罗贝尼乌斯互反）；正则表示包含所有不可约表示，其重数恰为维数。

诱导 Ind 升级、限制 Res 降级：两者在表示之间搬运信息

$\langle\operatorname{Ind}_H^G W,\,V\rangle_G=\langle W,\,\operatorname{Res}_H^G V\rangle_H$ ——诱导与限制构成伴随对，重数计算可在两侧任选。

$G$ 在群代数 $\mathbb{C}[G]$ 上的左乘作用即正则表示：它包含每个不可约表示，重数恰为其维数—— $\sum d_i^2=|G|$ 。

从平凡子群诱导上去得正则表示；从 $S_n$ 到 $S_{n+1}$ 的逐层诱导产生杨图与对称群表示的完整组合学。

\mathbb{C}[G]\cong\bigoplus_i V_i^{\oplus\dim V_i},\quad\sum_i d_i^2=|G|

\operatorname{Ind}\dashv\operatorname{Res}\quad(\text{Frobenius})

弗罗贝尼乌斯 1898 年发现互反律；杨 20 世纪初以杨表给出对称群表示的组合构造；诱导方法至今是李群表示构造（主系列表示）的标准工具。

分子对称性分析中从点群子群诱导振动表示；量子力学中角动量耦合（Clebsch-Gordan）是张量积表示的分解问题。

诱导表示：维数乘以指数把 H 的表示「打包」成 G 的表示：dim Ind_H^G V = [G:H]·dim V

dim V1[G:H]3