概念

半单表示

半单李代数的表示由权与根系完整分类，最高权表示给出不可约表示的构造模板，粒子物理的标准模型谱由此排列。

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半单表示表示论

01定义

半单李代数的不可约表示由「最高权」唯一参数化：权是权空间分解的标签，根系约束可能权的几何。Weyl 特征标公式给出维数与特征标的闭式——粒子谱的排列规则即藏于此。

权的几何：不可约表示的权点在权格上对称排布

嘉当子代数的元素可同时对角化：表示空间分解为权空间 $V=\bigoplus_\lambda V_\lambda$ ；权 $\lambda$ 落在根格的平移上。

每个不可约表示有唯一最高权（被正根方向推不动的权）；反之每个支配整权产生一个不可约表示——分类化约为格点计数。

$\dim V_\lambda=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho,\alpha)}{(\rho,\alpha)}$ ——维数由最高权与正根的内积闭式给出，优雅得近乎魔术。

V=\bigoplus_{\lambda}V_\lambda,\quad\dim V_\lambda=\text{重数}

\dim V_\lambda=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho,\alpha)}{(\rho,\alpha)}

嘉当 1913 年分类不可约表示并引入权；外尔 1926 年以「幺正技巧」证明完全可约性并给出特征标公式——表示论从此成为结构清晰的学科。

粒子物理的「八重法」即 $\mathfrak{su}(3)$ 权图（盖尔曼据此预言 Ω⁻ 粒子）；角动量耦合、晶场分裂的计算都是权分解的应用。

完全可约：V = ⊕ 不可约直和半单代数：任何表示都是不可约表示的直和，表示矩阵化成分块对角形

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