概念

傅里叶分析

周期函数的傅里叶展开是圆周群（紧交换群）的表示分解，彼得-外尔定理把这一图景推广到一般紧群。

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傅里叶分析表示论

01定义

周期函数的傅里叶展开本质是圆周群的表示分解：

e^{inx}

恰是圆周的全部不可约表示，傅里叶系数是函数在这些「基本频率」上的投影。彼得-外尔定理把此图景推广到一切紧群。

傅里叶分解：复杂波形拆为正弦波的叠加

圆周群 $S^1$ 的不可约表示恰为 $\chi_n(\theta)=e^{in\theta}$ （ $n\in\mathbb{Z}$ ）；傅里叶系数 $\hat f(n)=\langle f,\chi_n\rangle$ 是函数在表示上的正交投影。

紧群 $G$ 的 $L^2(G)$ 按全部不可约表示分解： $L^2(G)=\widehat{\bigoplus_{\pi}}\,V_\pi\otimes V_\pi^*$ ——傅里叶级数在一切紧群上的推广。

非紧情形（ $\mathbb{R}$ ）离散谱变为连续谱：级数化为积分，即傅里叶变换；庞特里亚金对偶给出交换群上的统一理论。

f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat f(n)\,e^{inx},\quad\hat f(n)=\frac{1}{2\pi}\int f\,e^{-inx}

L^2(G)=\widehat{\bigoplus_{\pi\in\hat G}}\,V_\pi\otimes V_\pi^*

傅里叶 1807 年为热传导方程提出三角展开，曾遭严格性质疑；狄利克雷给出收敛判据；20 世纪抽象调和分析（彼得-外尔 1927、庞特里亚金）将其升华为表示论。

音频压缩（MP3）、图像压缩（JPEG 的 DCT）、量子力学的动量表象、数论中的圆法——傅里叶分析是信号与数的共同显微镜。

有限群上的 DFT：函数 → 特征标系数选择频率 k：函数 f 分解为 n 个不可约分量（平面波）的叠加

k 频率1