概念

李代数基础

李括号满足反交换与雅可比恒等式，泛包络代数让李代数的表示与结合代数表示等价，是量子力学的数学语言。

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李代数基础表示论

01定义

李代数是配「李括号」

[\,\cdot,\cdot]

的向量空间：括号反交换且满足雅可比恒等式。它是连续对称群（李群）的「无穷小版本」；泛包络代数把李代数的表示等价于结合代数的表示。

李代数 𝔤 是李群 G 在单位元的切空间：对称的无穷小

反交换 $[X,Y]=-[Y,X]$ 与雅可比恒等式 $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$ ——前者保证「无穷小旋转」的方向性，后者保证一致性。

$\mathfrak{so}(3)$ （三维旋转）满足 $[X,Y]=X\times Y$ ； $\mathfrak{gl}_n$ 的括号是交换子 $AB-BA$ ——一切矩阵交换子都是李代数。

把李代数嵌入结合代数 $U(\mathfrak{g})$ （模掉 $XY-YX-[X,Y]$ ），则 $\mathfrak{g}$ -表示 $\Leftrightarrow$ $U(\mathfrak{g})$ -模——李代数表示论并入模论。

[X,Y]=- [Y,X]

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0

索菲斯·李 1870 年代创立「连续变换群」理论；基林 1880 年代分类复半单李代数；嘉当父子发展根系与表示理论——「李」从此成为对称的代名词。

量子力学中角动量算子满足 $\mathfrak{su}(2)$ 交换关系；经典力学的守恒量代数、机器人运动学的旋量方法都以李代数为语言。

sl₂ 的根系统：E 升、F 降[H,E] = 2E 把权 −2 提升到 0 再到 2：升降算子沿根方向移动权重

步骤0