概念

光滑流形

图册与转移映射定义光滑流形，切丛与余切丛是流形上做微积分的载体，流形是现代几何的基本对象。

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光滑流形微分几何

01定义

光滑流形是局部同胚于欧氏空间、并带有光滑图册的拓扑空间：每块坐标卡把局部映为

\mathbb{R}^n

，卡间转移映射光滑。切丛与余切丛是流形上做微积分的载体。

两张坐标卡 U、V 覆盖流形，各自同胚于 ℝⁿ 的开集

一族覆盖流形的坐标卡构成图册；任意两卡的转移映射 $\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}$ 光滑时，图册定义光滑结构，微积分得以逐卡进行。

各点切空间 $T_pM$ 的并集构成切丛 $TM$ ；向量场是它的截面，微分形式是余切丛的截面——它们是流形上分析的舞台。

球面 $S^n$ 、环面 $T^n$ 、射影空间 $\mathbb{R}P^n$ 、李群（如旋转群 $SO(3)$ ）；Whitney 定理保证任何流形可嵌入某 $\mathbb{R}^N$ 。

\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}:\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\mathbb{R}^n\ \text{光滑}

TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM

黎曼提出流形思想，Poincaré 引入拓扑观点；1930 年代 Whitney、Cartan 等人给出严格的现代定义，流形成为整个现代几何的基本对象。

机器人的构型空间、热力学状态空间是流形；数据科学「流形学习」假设高维数据位于低维流形上；相空间是辛流形。

图册：两个坐标卡覆盖 S¹拖 θ 转动点：在每个坐标卡里它都有局部坐标，转移映射在交叠处光滑衔接

θ 角度1.10