概念

表示与特征标

不可约表示及其特征标表完整编码有限群的表示论信息，特征标正交关系是分类工具的核心。

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表示与特征标表示论

01定义

群表示是把抽象群元素「兑现」为矩阵的同态

\rho:G\to GL(V)

；特征标

\chi(g)=\operatorname{tr}\rho(g)

是表示的「指纹」。有限群的表示论由不可约表示与其特征标表完整刻画。

表示 ρ 把群元素变为矩阵，且保持乘法结构

无真不变子空间的表示称为不可约——表示的「原子」；Maschke 定理保证有限群（特征不整除阶）的表示完全可分解为不可约之直和。

特征标是类函数（共轭元取值相同）；不可约特征标构成类函数空间的正交基，一张方表编码群的全部表示论信息。

$\frac{1}{|G|}\sum_g\chi_i(g)\overline{\chi_j(g)}=\delta_{ij}$ ——特征标按共轭类正交归一，分解表示化为查表点积。

\rho(gh)=\rho(g)\rho(h),\quad\chi(g)=\operatorname{tr}\rho(g)

\langle\chi_i,\chi_j\rangle=\frac{1}{|G|}\sum_{g}\chi_i(g)\overline{\chi_j(g)}=\delta_{ij}

弗罗贝尼乌斯 1896 年为研究有限群创立特征标理论；伯恩赛德、舒尔将其完善；「从群到矩阵」的观点此后成为代数、几何、物理的通用接口。

晶体与分子振动的对称分类（群论选律）、化学中的简并度分析、组合计数——凡是有限对称对象的谱分析，特征标表都是第一工具。

循环群的特征标表：χ_k(g) = e^{2πikg/n}改变 n：n×n 的特征标表，每格是一个单位根，行与行正交

n 群阶4