概念

直线与平面

直线与平面的方程、相互距离、夹角、投影计算全部归约为线性代数，是计算机图形学的基础。

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直线与平面解析几何

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01定义

空间中直线由一点加方向向量确定，平面由一点加法向量确定。相交、平行、垂直、夹角、距离等位置关系，全部化为向量的点积与叉积运算——几何彻底线性代数化。

平面 π 由法向量 n 刻画，直线 l 由方向向量刻画，位置关系化为向量运算

直线：参数式 $\vec r=\vec r_0+t\vec v$ 或对称式；平面：点法式 $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ 或一般式 $Ax+By+Cz+D=0$ 。

线线、线面、面面夹角由方向向量与法向量的点积求出；点到平面距离 $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ 是投影公式。

平行、垂直、共面、异面全部翻译为向量条件（如异面直线用混合积判定），公垂线与距离亦可算法化。

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

\sin\varphi=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}\quad(\text{线面角})

笛卡尔建立平面解析几何后，欧拉与拉格朗日在 18 世纪把坐标方法推广到空间，完成直线与平面的方程理论；19 世纪向量语言使其彻底简洁化。

光线追踪的核心是直线与平面（曲面）求交；机器人避障、晶体学晶面指标、航空航线与空域平面都依赖这套计算。

平面 Ax + By + Cz = D 的截距调整系数，观察平面与坐标轴截距的变化

A1.00B1.00C1.00D1.50