概念

直角坐标

平面与空间直角坐标建立点与有序数组的对应，为几何代数化奠定基础。

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直角坐标解析几何

01定义

直角坐标系在平面上建立点与有序实数对的一一对应：过原点 O 的两条互相垂直的数轴（x 轴、y 轴）把每个点 P 映为坐标

(x, y)

。从此曲线即方程、方程即曲线，几何问题全部翻译为代数计算。

点 P 与坐标 (x, y) 一一对应；曲线是方程 f(x,y)=0 的几何化身

点对应有序数组，曲线对应方程 $f(x,y)=0$ ，两曲线交点对应联立方程的解——「形」与「数」的互译是解析几何的全部方法论。

两点距离公式 $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 是勾股定理的坐标化；中点公式、定比分点公式把线段关系化为算术。

直线方向由斜率 $k=\tan\alpha$ 刻画；平行即斜率相等、垂直即斜率之积为 $-1$ ，位置关系化为数值条件。

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

k=\tan\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

1637 年笛卡尔在《几何学》中提出坐标方法，传说源自他卧床观察天花板上的苍蝇；费马几乎同时独立提出类似思想。坐标法使古希腊的「作图几何」变为「计算几何」，直接为微积分铺路。

屏幕像素、GIS 地图、CAD 制图、机器人定位全部建立在直角坐标之上；它是计算机表示几何对象的唯一语言。

笛卡尔直角坐标：点的横纵投影拖 (x,y)：点到两轴的虚线投影就是它的坐标读数

x 横坐标2.50y 纵坐标1.80