概念

二次曲线

椭圆、抛物线、双曲线由焦点/准线定义并可由二次方程分类，圆锥截线统一了三者的几何来源。

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二次曲线解析几何

01定义

椭圆、抛物线、双曲线统称圆锥曲线：用平面截圆锥面即得三者。统一定义为「到焦点距离与到准线距离之比为离心率

e

」的点的轨迹：

e<1

椭圆、

e=1

抛物线、

e>1

双曲线。

离心率 e 统一三类圆锥曲线：e<1 椭圆、e=1 抛物线、e>1 双曲线

离心率 $e$ 一个数决定曲线类型，把三种曲线纳入同一定义；极坐标下统一方程 $r=\frac{ep}{1-e\cos\theta}$ 是天体力学的起点。

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 、抛物线 $y^2=2px$ 、双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ； $a, b, c$ 的关系刻画形状。

椭圆两焦点间的光线互相反射（耳语廊）；抛物线焦点发出的光反射后平行射出（探照灯、卫星天线）；双曲线有类似性质。

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(\text{椭圆})

y^2=2px\quad(\text{抛物线})

r=\frac{ep}{1-e\cos\theta}\quad(\text{统一极坐标方程})

古希腊门奈莫斯为解「倍立方问题」发现圆锥曲线；阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》系统命名并研究三者。1609 年开普勒发现行星轨道是椭圆，圆锥曲线由此成为天文学的语言。

卫星天线与望远镜用抛物面聚焦；行星与彗星轨道按 $e$ 分类；双曲线用于远程导航（LORAN 时差定位）。

圆锥曲线：离心率 e 决定形状e<1 椭圆，e=1 抛物线，e>1 双曲线——同一族极坐标曲线 r = l/(1+e·cosθ)

e 离心率0.70