概念

不等式

均值不等式（算术≥几何）、柯西不等式、排序不等式是三个最常用的基本不等式，它们相互关联并支撑大量极值与优化问题。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

不等式初等代数

01定义

不等式刻画量的范围关系。三大基本不等式——均值不等式（算术平均

\geq

几何平均）、柯西不等式、排序不等式——相互关联，是极值问题与优化问题的基本武器。

均值不等式的经典几何证明：√ab ≤ (a+b)/2

$\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ （ $a_i>0$ ），等号当且仅当诸数相等——「定和求积最大、定积求和最小」的原理。

$(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\geq(\sum a_i b_i)^2$ ，即向量内积不超过长度之积；它是三角不等式与许多极值结论的统一源头。

「顺序和 $\geq$ 乱序和 $\geq$ 逆序和」——两组数同向配对之积的和最大，是切比雪夫和等结论的直接推论。

\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\quad(a,b>0)

\Big(\sum a_i^2\Big)\Big(\sum b_i^2\Big)\geq\Big(\sum a_i b_i\Big)^2

均值不等式的特殊情形欧几里得《几何原本》中已有几何表述；柯西 1821 年《分析教程》给出其一般形式；19-20 世纪的不等式专著（哈代等）将其系统化。

最优化问题的界估计、概率论的方差估计（柯西）、信息论中的熵不等式，以及竞赛数学中的极值技巧都以基本不等式为骨架。

均值不等式：(a+b)/2 ≥ √(ab)拖动 a、b：算术平均恒不小于几何平均

a4.00b6.00