概念

代数方程

一元/多元方程与方程组；一元二次方程有求根公式，五次以上一般方程无根式解（阿贝尔-鲁菲尼定理），线性方程组由高斯消元求解。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

已是本主题的起点

代数方程初等代数

01定义

方程是含未知数的等式，解方程就是找出使等式成立的值。一元二次方程

ax^2+bx+c=0

有普适求根公式；但五次及以上一般方程没有根式解（阿贝尔-鲁菲尼定理）——方程求解的历史直接催生了抽象代数。

二次方程的两个实根：抛物线与 x 轴的交点横坐标

一次、二次公式自古已知；三次、四次公式由 16 世纪意大利学派（卡尔达诺、费拉里）给出；五次一般方程则被证明无根式解。

$\Delta=b^2-4ac$ 一个数判定根的情形： $\Delta>0$ 两相异实根、 $\Delta=0$ 重根、 $\Delta<0$ 共轭复根——根的性态由系数的代数式完全决定。

线性方程组用高斯消元系统求解；韦达定理 $x_1+x_2=-b/a,\ x_1x_2=c/a$ 则在不解方程的情况下提取根的对称信息。

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}\quad(\text{韦达})

古巴比伦人已会解二次方程；花拉子米 820 年《代数学》给出系统解法（「代数」一词即源于书名 al-jabr）；1545 年卡尔达诺发表三次四次公式；1824 年阿贝尔证明五次方程无根式解。

工程中的抛物运动、电路谐振、结构受力分析都归结为方程求解；方程「何时可用公式解」的追问直接催生了群论与伽罗瓦理论。

二次方程 ax² + bx + c = 0 的根调整系数，观察判别式与实根个数

a 二次项1.00b 一次项-2.00c 常数项-3.00