概念

黎曼积分

上和与下和夹逼定义黎曼积分，连续函数与单调函数可积，微积分基本定理连接微分与积分。

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黎曼积分数学分析

01定义

黎曼积分用分割的小矩形上下和夹逼定义「面积」：上和与下和之差趋于零则函数可积。连续函数与单调函数都可积；微积分基本定理把积分还原为求原函数——分析与计算的交汇点。

黎曼和：小矩形面积之和逼近曲线下的面积

可积 $\iff$ 上积分 = 下积分 $\iff$ 几乎处处连续（勒贝格判据）；狄利克雷函数不可积是经典反例。

$\int_a^b f'=f(b)-f(a)$ ：微分与积分互为逆运算；变上限积分 $F(x)=\int_a^x f$ 是 $f$ 的原函数——分析学的核心恒等式。

逐项取极限后积分可能失效、指示函数 $1_{\mathbb{Q}}$ 不可积——这些缺陷正是勒贝格积分的出生证明。

\int_a^b f=\lim_{\|\Delta\|\to 0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)

黎曼 1854 年就职论文给出第一个严格定义；达布以上下和形式化；牛顿-莱布尼茨公式则由两人于 17 世纪末分别发现。

数值积分（辛普森、高斯求积）、物理量的累积计算（功、电荷、概率）、蒙特卡洛积分的理论参照。

矩形求和 → 曲边面积增大 n：左端点矩形越来越贴曲线，和式逼近定积分

n 分割数8