概念

数值微积分

牛顿-科茨与高斯求积公式数值计算定积分，欧拉法、龙格-库塔法数值求解 ODE，有限差分法离散 PDE。

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数值微积分计算数学

01定义

把连续的积分与微分方程交给离散算术：求积公式用加权和逼近定积分，ODE 求解器用步进格式推进解，有限差分把导数换成差商——误差阶与稳定性是评价一切离散格式的两大标尺。

数值积分：条带面积之和逼近曲边面积

牛顿-科茨用等距节点（梯形、辛普森）；高斯求积选 $n$ 个非均匀节点达到 $2n-1$ 次代数精度——节点与权重一起优化，精度翻倍。

欧拉法一阶、RK4 四阶；隐式法（后向欧拉、BDF）牺牲每步求解代价换取刚性稳定；自适应步长用嵌入对估计局部误差自动调速。

热方程用显式格式受 CFL 条件限制（ $\Delta t\lesssim h^2$ ），隐式 Crank-Nicolson 无条件稳定但每步解线性系统——格式选择 = 精度、稳定、成本三方权衡。

\int_a^b f\approx\sum_iw_if(x_i),\quad y_{n+1}=y_n+\textstyle\sum b_ik_i\ (\text{RK})

牛顿与科茨 17 世纪末建立求积公式；高斯 1814 年给出最优节点；库塔 1901 年提出四阶格式，至今仍是 ODE 求解的默认选择。

轨道力学与航天轨迹计算、化学反应动力学的刚性 ODE、金融 PDE 定价的有限差分实现、物理引擎的实时仿真。

梯形法则：分段梯形逼近积分增多分段：逼近误差快速下降

n 分段数4