概念

波动方程

双曲型方程，达朗贝尔解用左右行波表示通解，特征线方法揭示有限传播速度。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

已是本主题的起点

波动方程偏微分方程

01定义

波动方程

u_{tt}=c^2u_{xx}

描述以速度

c

传播的扰动：达朗贝尔公式把解拆成左右行波

F(x-ct)+G(x+ct)

。信息沿特征线以有限速度传播——双曲型方程的标志性行为。

特征锥：一点扰动的影响沿两条特征线扩展

一维通解 $u=F(x-ct)+G(x+ct)$ ：一切解都是左右行波叠加；初值 $u(x,0),u_t(x,0)$ 唯一决定 $F,G$ 。

二维泊松公式、三维基尔霍夫公式：惠更斯原理在奇数维成立（波过无痕）、偶数维失效（余波缭绕）。

$E=\frac{1}{2}\int(u_t^2+c^2u_x^2)dx$ 守恒——波动不耗散能量，只搬运；适定性（存在唯一连续依赖）由能量法一步证出。

u(x,t)=\tfrac{1}{2}[f(x-ct)+f(x+ct)]+\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds

达朗贝尔 1747 年解弦振动方程，与欧拉、丹尼尔·伯努利就「任意初形可否」争论数十年；傅里叶级数的引入最终化解。

声学设计、地震波反演（层析成像）、电磁波传播、乐器声学建模——一切「传播而不扩散」现象的方程。

波动方程：行波解的快照uₜₜ = c²uₓₓ：初始扰动分成左右两个行波 f(x−ct) 与 g(x+ct)

t 时刻0.50