概念

黎曼度量

度量张量给每点一个内积，从而定义长度、角度与体积，是弯曲空间的「尺子」。

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黎曼度量微分几何

01定义

黎曼度量在流形每点的切空间上给出一个光滑变化的内积

g_{ij}

，从而定义长度、角度与体积——它是弯曲空间的「尺子」。欧氏度量、球面度量、双曲度量都是它的特例。

流形在 p 点的切平面：度量 g_p 是切空间上的内积

$ds^2=\sum g_{ij}\,dx^i dx^j$ ； $g_{ij}$ 光滑依赖于点。换坐标时按张量规则变换，保证几何与坐标无关。

曲线长 $L=\int\sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j}\,dt$ ，体积元 $dV=\sqrt{\det g}\,dx^1\cdots dx^n$ ——积分由此在流形上成立。

欧氏 $ds^2=dx^2+dy^2$ （ $K=0$ ）；球面（ $K>0$ ）；Poincaré 半平面 $ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$ （ $K=-1$ ，双曲几何模型）。

ds^2=\sum_{i,j}g_{ij}\,dx^i dx^j

L(\gamma)=\int_a^b\sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j}\,dt

ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}\quad(\text{双曲})

1854 年黎曼在哥廷根就职演讲《论作为几何学基础的假设》中提出 n 维流形与度量的概念，把几何从「空间科学」变为「度量结构科学」，为广义相对论备好语言。

广义相对论中引力即时空度量；信息几何用 Fisher 度量研究概率族；机器学习「流形学习」假设数据带低维黎曼结构。

球面度量：大圆（测地线）vs 纬线弧球面两点间最短路径是大圆弧；纬线弧更长

P₁ 余纬角0.95P₁ 经度差1.60