概念

曲率

主曲率是法截线曲率的极值，高斯曲率是主曲率之积、平均曲率是主曲率之和；高斯绝妙定理断言高斯曲率仅由第一基本形式决定。

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曲率微分几何

01定义

主曲率

\kappa_1, \kappa_2

是法截线曲率的极值；高斯曲率

K=\kappa_1\kappa_2

、平均曲率

H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}

。高斯绝妙定理：

K

仅由第一基本形式决定，是曲面最深刻的内蕴不变量。

K>0 如球面、K=0 如柱面（可展平）、K<0 如鞍面

过一点的所有法截线中，曲率的最大最小值即 $\kappa_1, \kappa_2$ ，对应方向互相垂直；它们完全描述曲面在该点的二阶形状。

$K=\kappa_1\kappa_2$ 是内蕴的（绝妙定理）； $H$ 是外在的， $H\equiv 0$ 的曲面是极小曲面（肥皂膜）。

球面 $K>0$ 不能无 distortion 地展成平面（地图必有变形）；柱面 $K=0$ 可以——一张纸能卷成筒却不能包成球。

K=\kappa_1\kappa_2

H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}

\iint_M K\,dA=2\pi\chi(M)\quad(\text{Gauss-Bonnet})

高斯 1827 年证明绝妙定理；其整体版本 Gauss-Bonnet 定理把曲率与拓扑（欧拉示性数）相连，成为整体微分几何的开端。

地图投影的变形分析、薄壳结构设计、计算机图形学的曲面光滑度判断；广义相对论中时空弯曲正是其四维版本。

密切圆：曲率半径 1/κ沿正弦曲线移动：峰谷处弯曲最甚、半径最小；拐点附近曲率趋零

x₀ 位置1.57