概念

基本形式

第一基本形式度量曲面上曲线的长度，第二基本形式度量曲面在空间中弯曲的方式，二者共同刻画曲面几何。

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基本形式微分几何

01定义

曲面的第一基本形式

I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2

编码曲面上的一切内蕴度量（长度、角度、面积）；第二基本形式

II

编码曲面在空间中的弯曲方式，二者共同决定曲面。

曲面的参数网格与切平面标架：r_u、r_v 张成切平面，n 为法向量

$E=\vec r_u\cdot\vec r_u$ ， $F=\vec r_u\cdot\vec r_v$ ， $G=\vec r_v\cdot\vec r_v$ ；曲面上曲线的长度、两曲线夹角、区域面积全部由 $I$ 计算——它是曲面的「内蕴尺子」。

$II=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2$ 由法向量的变化给出，度量曲面偏离切平面的二阶量，即「外在弯曲」。

高斯曲率 $K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$ 由两个形式之比给出；绝妙定理说 $K$ 其实只依赖 $I$ ——外在之比竟是内蕴量。

I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2

II=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2

K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}

高斯 1827 年《关于曲面的一般研究》建立第一、第二基本形式与绝妙定理，被公认是微分几何的奠基文献；该工作直接启发了黎曼的高维推广。

地图投影的「保角」即保持第一基本形式的角度结构；钣金成形、服装打版必须处理不可展曲面（ $K\neq 0$ ）的变形问题。

第一/第二基本形式：曲面在某点的几何拖 u、v 移动考察点：E,F,G 定长度，L,M,N 定弯曲

u 参数1.20v 参数0.80